Istilah Aljabar

Aljabar adalah cabang matematika yang berhubungan dengan simbol dan aturan. Dalam aljabar dasar, simbol-simbol (ini ditulis dalam huruf Latin dan Yunani) yang dikenal sebagai variabel. Sama seperti kalimat, aljabar menggambarkan hubungan antara kata-kata tertentu. Ambil contoh sebagai berikut:

Saya memiliki dua bidang yang total 1.800 kilometer persegi. Hasil
dari masing-masing bidang ⅔ galon gabah per yard persegi dan ½ galon per yard persegi. Bidang pertama memberi 500 galon lebih dari yang kedua. Berapa jumlah hasil dari masing-masing bidang?

Ini adalah gagasan populer bahwa masalah tersebut di
gunakan untuk diberikan kepada siswa. Masalah ini hampir pasti ditulis untuk membantu siswa memahami matematika - tapi itu sudah berusia hampir 4.000 tahun! Menurut Jacques Sesiano di "Sebuah Pengantar Sejarah Aljabar" (AMS 2009), masalah ini didasarkan pada tablet tanah liat Babilonia sekitar tahun 1800 SM (VAT 8389, Museum of Timur Dekat Kuno). Sejak akar ini di Mesopotamia kuno, aljabar telah menjadi pusat banyak kemajuan dalam ilmu pengetahuan, teknologi, dan peradaban secara keseluruhan. Bahasa aljabar telah bervariasi secara signifikan di seluruh sejarah semua peradaban untuk mewarisi itu (termasuk kita sendiri). Kita menulis masalah seperti ini:

x + y = 1.800

⅔ ∙ x - ½ ∙ y = 500

Variable x dan y mewakili daerah bidang. Persamaan pertama dipahami hanya sebagai "menambahkan dua daerah memberikan total luas 1.800 kilometer persegi." Persamaan kedua lebih halus. Karena x adalah area bidang pertama, dan bidang pertama memiliki hasil dua-pertiga dari galon per yard persegi, "⅔ ∙ x" - yang berarti "dua-pertiga kali x" - mewakili jumlah total gabah yang dihasilkan dengan bidang pertama. Demikian pula "½ ∙ y" merupakan jumlah total dari biji-bijian yang dihasilkan oleh bidang kedua. Karena medan pertama memberi 500 lebih galon gandum dari kedua, perbedaan (maka, pengurangan) antara butir bidang pertama (⅔ ∙ x) dan gandum bidang kedua ini (½ ∙ y) adalah (=) 500 galon.
Jawaban muncul

Tentu saja, kekuatan aljabar tidak dalam pengkodean pernyataan tentang dunia fisik. ilmuwan komputer dan penulis Mark Jason Dominus menulis di blog-nya, The Universe of Discourse: "Pada tahap pertama Anda menerjemahkan masalah dalam aljabar, dan kemudian di tahap kedua Anda memanipulasi simbol-simbol, hampir secara mekanis, sampai jawaban muncul keluar seakan dengan sihir.
Pembaca tidak perlu memahami setiap langkah tertentu untuk memahami pentingnya teknik ini secara keseluruhan. Makna sejarah dan fakta bahwa kita mampu memecahkan masalah tanpa menebak akan menginspirasi pembaca berpengalaman untuk belajar tentang langkah-langkah secara lebih rinci. Berikut adalah persamaan pertama lagi:

x + y = 1.800

Diseelesaikan persamaan ini untuk y dengan mengurangi x dari setiap sisi persamaan:

y = 1.800 - x

Sekarang, persamaan kedua:

⅔ ∙ x - ½ ∙ y = 500

Karena "1.800 - x" adalah sama dengan y, itu bisa diganti ke dalam persamaan kedua:

⅔ ∙ x - ½ ∙ (1800 - x) = 500

Selanjutnya, mendistribusikan negatif satu-setengah (-½) di ekspresi "1.800 - x":

⅔ ∙ x + (-½ ∙ 1.800) + (-½ ∙ -x) = 500

Ini disederhanakan menjadi:

⅔ ∙ x - 900 + ½ ∙ x = 500

Tambahkan dua fraksi x bersama-sama dan menambahkan 900 untuk setiap sisi persamaan:

(7/6) ∙ x = 1.400

Sekarang, membagi setiap sisi persamaan dengan 7/6:

x = 1.200

Dengan demikian,
bidang pertama memiliki luas 1.200 yard persegi. Nilai ini bisa diganti ke dalam persamaan pertama untuk menentukan y:

(1200) + y = 1.800

Kurangi 1.200 dari setiap sisi persamaan untuk memecahkan y:

y = 600
Dengan demikian, kolom kedua memiliki luas 600 kilometer persegi.

Perhatikan teknik melakukan operasi untuk setiap sisi persamaan. Praktek ini paling baik dipahami
dalam memvisualisasikan persamaan sebagai skala dengan berat dikenal di satu sisi dan berat yang tidak diketahui di sisi lain. Jika kita menambah atau mengurangi jumlah yang sama berat dari masing-masing pihak, skala tetap seimbang. Demikian pula, skala tetap seimbang jika kita dikalikan atau dibagi dengan bobot sama.

Sedangkan teknik menjaga persamaan seimbang hampir pasti digunakan semua peradaban untuk memajukan aljabar, menggunakannya untuk memecahkan masalah Babilonia kuno (seperti yang ditunjukkan di atas) adalah anakronistik karena teknik ini hanya menjadi pusat aljabar untuk 1.200 tahun terakhir.
Sebelum Abad Pertengahan

Berpikir aljabar menjalani reformasi substansial mengikuti kemajuan oleh para sarjana Islam Golden Age. Sampai titik ini, peradaban yang diwariskan matematika Babel dipraktekkan aljabar di progresif elaborat "metode prosedural." Sesiano lebih lanjut menjelaskan: A "siswa diperlukan untuk menghafal sejumlah kecil (matematika) identitas, dan seni memecahkan masalah ini maka terdiri dalam mengubah setiap masalah menjadi bentuk standar dan menghitung solusi." (ilmuwan dari Yunani kuno dan India tidak berlatih bahasa simbolik untuk belajar tentang teori bilangan.)

Seorang matematikawan India dan astronom, Aryabhata, menulis salah satu buku paling awal dikenal pada matematika dan astronomi, yang disebut "Aryabhatiya" oleh para sarjana modern. Pekerjaan adalah "sebuah risalah astronomi kecil yang ditulis dalam 118 ayat memberikan ringkasan matematika Hindu sampai saat itu," menurut University of St Andrews, Skotlandia.

Berikut adalah contoh penulisan Aryabhata, dalam bahasa Sansekerta. Ini adalah ayat 2.24, "Kuantitas dari perbedaan dan produk mereka":

Menurut Kripa Shankar Shukla di "Aryabhatiya dari Aryabhata" (India National Science Academy of New Delhi, 1976), ayat ini sekitar diterjemahkan ke:

2.24: Untuk menentukan dua kuantitas dari perbedaan dan produk mereka, kalikan produk dengan empat, kemudian tambahkan persegi perbedaan dan mengambil akar kuadrat. Menulis hasil ini turun di dua slot. Meningkatkan slot pertama dengan perbedaan dan menurunkan kedua dengan perbedaan. Potong masing-masing slot di setengah untuk mendapatkan nilai dari dua kuantitas.

Dalam modern yang notasi aljabar, kita menulis perbedaan dan produk seperti ini:

x - y = A (perbedaan)

x ∙ y = B (produk)

Prosedur tersebut kemudian ditulis seperti ini:

x = [√ (4 ∙ B + A2) + A] / 2

y = [√ (4 ∙ B + A2) - A] / 2

Ini adalah variasi dari rumus kuadrat. prosedur yang sama muncul sejauh Babilonia, dan mewakili aljabar
di beberapa negara (dan hubungan dekat dengan astronomi) selama lebih dari 3.500 tahun, di banyak peradaban: Assyria, di abad ke-10 .; Kasdim, di abad ketujuh .; Persia, di abad keenam .; Yunani, di abad keempat .; Roma, di abad pertama ; dan India, di abad kelima Masehi

Sementara prosedur seperti hampir pasti berasal geometri, penting untuk dicatat teks asli dari setiap peradaban mengatakan apa-apa tentang bagaimana prosedur tersebut ditentukan, dan tidak ada upaya dilakukan untuk menunjukkan bukti kebenaran mereka. catatan tertulis yang mengatur masalah ini pertama kali muncul pada abad pertengahan.

The Golden Age of Islam, sebuah periode dari pertengahan abad ke-tujuh untuk pertengahan abad ke-13, melihat penyebaran matematika Yunani dan India untuk dunia Muslim. Al-Khwarizmi, anggota fakultas dari House of Wisdom di Baghdad,
menerbitkan "Al-jabr wa'l muqabalah,atau "Buku Perhitungan dengan Penyelesaian dan Balancing. Al-Khwarizmi juga mengembangkan metode cepat untuk mengalikan dan membagi angka, yang dikenal sebagai algoritma .

Untuk pertama kalinya sejak awal, praktek aljabar mengalihkan fokusnya jauh dari menerapkan metode prosedural lebih ke arah ajang pembuktian dan metode tersebut menggunakan geometri dan teknik melakukan operasi untuk setiap sisi persamaan. Menurut Carl B. Boyer dalam "A History of Mathematics 3 Ed." (2011, Wiley), Al-Khawarizmi menemukan "perlu bahwa kita harus menunjukkan geometris kebenaran masalah yang sama yang telah kami jelaskan dalam jumlah."

Cendekiawan Muslim abad pertengahan menulis persamaan sebagai kalimat dalam tradisi sekarang dikenal sebagai aljabar retoris. Selama 800 tahun ke depan, aljabar berkembang melalui spektrum bahasa retoris dan simbolik dikenal sebagai aljabar sinkopasi.

Cendekiawan Muslim abad pertengahan menulis persamaan sebagai kalimat dalam tradisi sekarang dikenal sebagai aljabar retoris. Selama 800 tahun ke depan, aljabar berkembang melalui spektrum bahasa retoris dan simbolik dikenal sebagai aljabar sinkopasi.

                                                                                                        
Powered by Blogger.